7.Übungsblatt Funktionentheorie

WS 2006/2007 Prof. Dr. K.-H. Indlekofer

Abgabe: Montag oder Dienstag, den 8.01.2007 bzw 9.01.2007 in den Übungen.

Aufgabe 7.1. Man berechne Res_{z_{0}} f für

f(z) = \frac{z^{3}}{(z − 1)^{2}} , (z ∈ ℂ \ \{1\}, z_{0} := 1).

Aufgabe 7.2. Man bestimme das folgende Integral für alle x > 0, σ > 0:

∫_{σ−i∞}^{σ+i∞} \frac{x^{z}}{z^{2}} dz.

(Hinweis: Für x < 1: Man integriere x^{z}/z auf dem Weg (σ − iR, σ + iR) +^{.} (|σ − z| = R , Rez ≥ σ), also auf dem Geradenstück zwischen σ − iR und σ + iR, vereinigt mit dem rechtsseitigen Halbkreis mit Mittelpunkt σ und mit Radius R. Dann läßt mann R gegen Unendlich streben. Für x ≥ 1: Man integriere auf dem gleichen Geradenstück, vereinigt mit dem linkseitigen Halbkreis. )

Aufgabe 7.3. Sei Ω ein Gebiet, das durch exp biholomorph auf D(1, 1) abgebildet wird (es gibt viele derartige Gebiete). Man definiere log z für |z − 1| < 1 durch log z = w ∈ Ω mit e^{w} = z.

1. Man zeige log′ z = 1/z.

2. Man bestimme die Koeffizienten a_{n} von

\frac{1}{z} = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z − 1)^{n}

3. Mit Hilfe von 2. gebe man die Koeffizienten c_{n} in der Entwicklung

log z = ∑_{n=0}^{∞} c_{n}(z − 1)^{n}

an.