Seminar für Lehramtskandidaten

Seminar Funktionentheorie/Zahlentheorie


Prof. Dr. Indlekofer

Organisatorisches



In diesen Seminaren sind die folgenden Themen vorgesehen:

Interessenten können sich ab sofort melden bei Frau Anna Barat (Tel: 602601, E-Mail: bam10@math.upb.de).



Thema 1: Das RSA - Verschlüsselungsverfahren und seine Sicherheit

Die älteste uns überlieferte Form, eine Nachricht zu verschlüsseln, ist wohl die der Spartaner, mit der sie schon im fünften Jahrhundert vor unserer Zeitrechnung "chiffriert" haben:
Es wurde ein Papierstreifen spiralförmig um einen Stab, die Skytala, gewickelt. Die parallel zum Stab auf dem Papierstreifen geschriebene Information erschien sinnlos, wenn der Papierstreifen abgenommen wurde. Wurde der Papierstreifen jedoch an seinem Bestimmungsort auf einem Stab des gleichen Durchmessers gewickelt, so konnte die "verschlüsselte" Information leicht entziffert werden.
Zentraler Punkt dieses Vortrags ist das RSA-Verfahren, das auf Ideen von Diffie und Hellmann aus dem Jahr 1976 zurückgeht und dessen effektive Implementierung 1978 von Rivest, Shamir und Adleman vorgeschlagen wurde.


Weiterführende Literatur



Thema 2: Primzahltests

Ähnlich wie das Guiness-Buch der Rekorde hat sich für den Bereich der Primzahlen The New Book of Prime Numer Records von Ribenboim als maßgebliche Informationsquelle etabliert. Aus der Fülle der Fragestellungen greifen wir heraus


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Thema 3: Primzahlsatz: Welche Eigenschaften der natürlichen Zahlen sind dafür verantwortlich?

Wie zufällig sind Primzahlen? Sie wachsen unter den natürlichen Zahlen wie Unkraut, genügen aber andererseits einem festen Gesetz, dem Primzahlsatz

$\displaystyle \pi(x):=\sum_{p \leq x \atop p \; prim} 1 \sim \frac{x}{\log x} \;\;\;\;\; (x \to \infty).$

Welche Struktur der natürlichen Zahlen bewirkt dieses geordnete Verhalten? Ist es die Eigenschaft, dass $ {\mathbb{N}}$ bezüglich der Multiplikation oder, wenn wir die Null hinzunehmen, bezüglich der Addition eine Halbgruppe bildet? Wir werden die Antwort finden.


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Thema 4: Siebverfahren: Das Große Sieb

Die Ungleichungen des Großen Siebes sind allgegenwärtig in der heutigen analytischen Zahlentheorie. In seiner modernen Formulierung handelt es sich dabei um kein Siebverfahren im zahlentheoretischen Sinn, sondern um eine Ungleichung zwischen verschiedenen Mittelwerten eines trigonometrischen Polynoms. Nach einigen elementaren Untersuchungen über die Eigenwerte gewisser hermetischer Matrizen zeigen wir: Das Große Sieb ist ein Sieb!


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Thema 5: Faltung arithmetischer Funktionen und Anwendungen in der Zahlentheorie

Die Menge A der zahlentheoretischen Funktionen bildet mit der Addition + und der Dirichletschen Faltung * einen Ring (A,+,*), von dem man zeigen kann, dass es sich um einen ZPE-Ring handelt. Einfache Inversionsformeln bilden die Grundlage bei der Untersuchung des Primzahlsatzes und für das Summationsverhalten arithmetischer Funktionen.


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Thema 6: Die Sätze von Wintner und Axer

Die Menge A der zahlentheoretischen Funktionen bildet mit der Addition + und der Dirichletschen Faltung * einen Ring (A,+,*), von dem man zeigen kann, dass es sich um einen ZPE-Ring handelt. Einfache Inversionsformeln bilden die Grundlage bei der Untersuchung des Primzahlsatzes und für das Summationsverhalten arithmetischer Funktionen. Beispielhaft werden die Sätze von Wintner und Axer bewiesen.


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Thema 7: Partitionen

Unter einer Partition einer natürlichen Zahl n verstehen wir eine Darstellung der Form $ n=n_1+...+n_k$ mit Summanden $ n_1,...,n_k \in {\mathbb{N}}$ Partition von n, die durch eine Permutation der Summanden auseinander hervorgehen, werden nicht unterschieden. Es werden Rekursionen für die Anzahl der Partitionen von natürlichen Zahlen einschließlich des Pentagonalzahlensatzes von Euler und Legendre bewiesen.


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Thema 8: Rationale Approximation reeller Zahlen

Das Dirichletsche Schubfachprinzip liefert eine elementare Aussage über die Güte der Approximation von reellen Zahlen durch rationale Zahlen. Ein 1844 von Liuoville bewiesener Satz verbindet die Güte rationaler Approximation mit der Ordnung von algebraischen Zahlen und ermöglicht die Konstruktion von transzendenten Zahlen. Der Begriff der besten Approximation führt auf den Kettenbruchalgorithmus.


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Thema 9: Die Transzendenz von e und π;

Liouville zeigte 1844 die Existenz transzendenter Zahlen konstruktiv. Ein reiner Existenzbeweis geht auf Cantor 1874 zurück. Der Nachweis der Transzendenz gegebener Zahlen ist schwieriger. Hier wird die von Hermite 1873 und von Lindemann 1882 bewiesene Transzendenz der Zahlen e und π gezeigt.


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Thema 10: Abelsche und Taubersche Sätze

Ein klassisches Ergebnis von Abel (1826) besagt

Sei die Potenzreihe $ f(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$ konvergent für $ z=1$. Dann gilt

$\displaystyle \lim_{z\to 1} f(z)=f(1)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n$

Dieses Resultat ist ein Prototyp aus der Klasse von sog. Abelschen Sätzen, die dadurch charakterisiert sind, dass, falls eine Folge (oder eine Funktion) genügend "regulär" ist, auch bestimmte gemittelte Werte ein reguläres Verhalten zeigen.

Beispielsweise ist auch

$\displaystyle f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n z^n=\frac{1}{1+z}$

ein Abelscher Satz. Die Umkehrung eines Abelschen Satzes ist i.a. falsch, wie etwa das Beispiel

$\displaystyle f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n z^n=\frac{1}{1+z}$

für z→ 1 zeigt:

$ f(1)=\frac{1}{2}$, aber $ \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n$ konvergiert nicht.

Ein Taubersatz ist ein Resultat, das eine hinreichende Voraussetzung ( Tauberbedingung) angibt, unter der die Umkehrung des Abelschen Satzes gilt. In diesem Vortrag werden einige wohlbekannte Eigenschaften langsam oszillierender Funktionen zusammengestellt und der Taubersatz von Hardy-Littlewood-Karamata bewiesen.


Weiterführende Literatur



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